ثقتي بالله
المشرف العام
تعرف على بحث عن متوازي الاضلاع
المقصود بمتوازي الاضلاع (Parallelogram) :
هو شكل هندسي رباعي مجموع زواياه 360 درجة ، فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين ، فمثلاً إذا نظرنا إلى الشكل المقابل سنجد أن الضلع (AB) يوازي الضلع المقابل له (DC) ، والضلع (DA) يوازي الضلع المقابل له ((CB ،كما نلاحظ أن أى مستقيم يمرّ بمركز متوازي الأضلاع يقوم بتقسيمه إلى شكلين متطابقين.
شكل توضيحي لمتوازي الاضلاع
خصائص متوازي الاضلاع :
– كل ضلعين متقابلين متطابقين : أي متساويين في الطول ، بمعنى أن الضلع (AB) يطابق الضلع (DC) ، والضلع (DA) يطابق الضلع ((CB.
– كل زاويتين متقابلتين متساويتين : بمعنى أن الزاوية (A) تطابق الزاوية (C) ، والزاوية (B) تطابق الزاوية .(D)
– الزوايا المتحالفة متكاملة ، ويُقصد بالزوايا المتحالفة هي الزوايا التي تنتج من تقاطع مستقيمين متوازيين مع مستقيم آخر ، فمثلاً في الشكل السابق المستقيم (AB) يوازي المستقيم (DC) ويقطعهما المستقيم (DA) ، وينتج من هذا التقاطع زوايتين وهما (A) و (D) ، و یکون هاتان الزاويتان متحالفتين ومتكاملتين أى أن مجموعهما يساوي 180 درجة. وعلي نفس هذا الأساس ستكون الزاويتان ((B و (A)متحالفتین ومتکاملتین ، وكذلك الزاويتان (B) و (C) ، والزاويتان (C) و (D).
– إذا كانت إحدى زوايا المتوازي قائمة فإن كل الزوايا تصبح قائمة ، وذلك لأن كل زاويتين متقابلتين متطابقتين ، فبالتالي وجود إحدي هذه الزوايا بقيمة 90 درجة يجعل كل الزوايا التي تطابقها 90 درجة أيضاً.
– القطران ينصّف كل منهما الآخر ، فكل قطر يقسم القطر الثاني إلى قسمين متساويين. ففي الشكل لدينا قطران القطر الأول هو (AC) والثاني هو (BD) ، وبذلك يكون (AE) يساوي (EC) ، و (DE) يساوي (EB).
محيط متوازي الاضلاع :
من المعروف أن محيط أي شكل من الأشكال المضلّعة يساوي مجموع أطوال أضلاع ذلك المضلّع ، و تبعاً لخصائص متوازي الاضلاع فقد تم دمج القاعدة العامة للأشكال المضلّعة مع خصائصه ليكون محيطه يساوي مجموع طولي الضلع الأكبر مع الضلع الأصغر مضروباً في اثنين .
إرتفاع متوازي الاضلاع :
يُقصد بإرتفاع متوازي الاضلاع هو طول العمود النازل من أحد رؤوسه على الضلع المقابل أو امتداده ، ففي الشكل الذى بالأسفل ، العمود (H1) هو الإرتفاع المتعلّق بالضلع أو القاعدة (AB) ، وأيضاً العمود (H2) هو الإرتفاع المتعلّق بالضلع أو القاعدة (BC) .
مثال توضيحي لإرتفاع متوازي الاضلاع
مساحة متوازي الاضلاع :
يمكن حساب مساحة متوازي الاضلاع من خلال ثلاثة أشياء : بدلالة القاعدة ، بدلالة الزاوية ، بدلالة مساحة المثلث.
– مساحة متوازي الاضلاع بدلالة القاعدة = طول القاعدة مضروباً في طول الإرتفاع المتعلّق بهذه القاعدة
– مساحة متوازي الاضلاع بدلالة الزاوية = طول الضلع الأول مضروباً في طول الضلع الثاني الذي يجاوره ومضروباً في جيب الزاوية ، مع معرفة أن جيب الزاوية هو طول الضلع المقابل لهذه الزاوية مقسوماً على الوتر في مثلث زاويته قائمه ويكون الوتر هو الضلع المقابل لهذه الزاوية.
– مساحة متوازي الاضلاع بدلالة مساحة المثلث = ضعف مساحة المثلث ، مع معرفة أن مساحة المثلث تساوي نصف طول القاعدة مضروباً في الإرتفاع.
حالات خاصة لمتوازي الاضلاع :
يُعتبر كلاً من المربع والمستطيل والمعين حالات خاصة من متوازي الاضلاع ، فقد أصبح لهم خصائص مختلفة قليلاً ميّزتهم عنه وهي :
– المربع : جميع أضلاعه متساوية في الطول ، وكل زواياه قوائم وله أقطار متعامدة.
– المستطيل : كل زواياه قوائم ، و كل أقطاره متساوية في الطول.
– المعيّن : كل أضلاعه متساوية ، وقطراه متعامدين.
تمارين :
تمرين (1):
متوازي اضلاع مساحته 36cm2 وارتفاعه 4cm فما هو طول القاعدة؟
الحل :
مساحة متوازي الاضلاع = طول القاعدة × الارتفاع
طول قاعدة متوازي الأضلاع = مساحته ÷ طول الارتفاع
طول القاعدة = 36÷4 =9 cm
تمرين (2) :
في الشكل الذي بالأسفل ، ABCD متوازي أضلاع فيه : AF=9cm ، CB=8cm ، AN=6cm
احسب طول DC
الحل :
مساحة متوازي الاضلاع = طول القاعدة × الارتفاع
المساحة = CB× AF = 9× 8
إذاً المساحة = 72 cm2
ومن قانون المساحة = طول القاعدة × الارتفاع
المساحة = DC × AN
72= DC× 6
DC = 72÷ 6= 12 cm
تمرين (3) :
متوازي أضلاع طول قاعدته 6 cm وارتفاعه 4cm، فما مساحته واذا كان طول ضلعه المجاور 5 cm فما طول ارتفاعه الأكبر
الحل :
مساحة متوازي الاضلاع = القاعدة × الأرتفاع
المساحة = 6×4= 24 cm2
ارتفاعه الأكبر = المساحة ÷ القاعدة الصغرى
الارتفاع = 24 ÷ 5 = 4.8 cm
المقصود بمتوازي الاضلاع (Parallelogram) :
هو شكل هندسي رباعي مجموع زواياه 360 درجة ، فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين ، فمثلاً إذا نظرنا إلى الشكل المقابل سنجد أن الضلع (AB) يوازي الضلع المقابل له (DC) ، والضلع (DA) يوازي الضلع المقابل له ((CB ،كما نلاحظ أن أى مستقيم يمرّ بمركز متوازي الأضلاع يقوم بتقسيمه إلى شكلين متطابقين.
شكل توضيحي لمتوازي الاضلاع
خصائص متوازي الاضلاع :
– كل ضلعين متقابلين متطابقين : أي متساويين في الطول ، بمعنى أن الضلع (AB) يطابق الضلع (DC) ، والضلع (DA) يطابق الضلع ((CB.
– كل زاويتين متقابلتين متساويتين : بمعنى أن الزاوية (A) تطابق الزاوية (C) ، والزاوية (B) تطابق الزاوية .(D)
– الزوايا المتحالفة متكاملة ، ويُقصد بالزوايا المتحالفة هي الزوايا التي تنتج من تقاطع مستقيمين متوازيين مع مستقيم آخر ، فمثلاً في الشكل السابق المستقيم (AB) يوازي المستقيم (DC) ويقطعهما المستقيم (DA) ، وينتج من هذا التقاطع زوايتين وهما (A) و (D) ، و یکون هاتان الزاويتان متحالفتين ومتكاملتين أى أن مجموعهما يساوي 180 درجة. وعلي نفس هذا الأساس ستكون الزاويتان ((B و (A)متحالفتین ومتکاملتین ، وكذلك الزاويتان (B) و (C) ، والزاويتان (C) و (D).
– إذا كانت إحدى زوايا المتوازي قائمة فإن كل الزوايا تصبح قائمة ، وذلك لأن كل زاويتين متقابلتين متطابقتين ، فبالتالي وجود إحدي هذه الزوايا بقيمة 90 درجة يجعل كل الزوايا التي تطابقها 90 درجة أيضاً.
– القطران ينصّف كل منهما الآخر ، فكل قطر يقسم القطر الثاني إلى قسمين متساويين. ففي الشكل لدينا قطران القطر الأول هو (AC) والثاني هو (BD) ، وبذلك يكون (AE) يساوي (EC) ، و (DE) يساوي (EB).
محيط متوازي الاضلاع :
من المعروف أن محيط أي شكل من الأشكال المضلّعة يساوي مجموع أطوال أضلاع ذلك المضلّع ، و تبعاً لخصائص متوازي الاضلاع فقد تم دمج القاعدة العامة للأشكال المضلّعة مع خصائصه ليكون محيطه يساوي مجموع طولي الضلع الأكبر مع الضلع الأصغر مضروباً في اثنين .
إرتفاع متوازي الاضلاع :
يُقصد بإرتفاع متوازي الاضلاع هو طول العمود النازل من أحد رؤوسه على الضلع المقابل أو امتداده ، ففي الشكل الذى بالأسفل ، العمود (H1) هو الإرتفاع المتعلّق بالضلع أو القاعدة (AB) ، وأيضاً العمود (H2) هو الإرتفاع المتعلّق بالضلع أو القاعدة (BC) .
مثال توضيحي لإرتفاع متوازي الاضلاع
مساحة متوازي الاضلاع :
يمكن حساب مساحة متوازي الاضلاع من خلال ثلاثة أشياء : بدلالة القاعدة ، بدلالة الزاوية ، بدلالة مساحة المثلث.
– مساحة متوازي الاضلاع بدلالة القاعدة = طول القاعدة مضروباً في طول الإرتفاع المتعلّق بهذه القاعدة
– مساحة متوازي الاضلاع بدلالة الزاوية = طول الضلع الأول مضروباً في طول الضلع الثاني الذي يجاوره ومضروباً في جيب الزاوية ، مع معرفة أن جيب الزاوية هو طول الضلع المقابل لهذه الزاوية مقسوماً على الوتر في مثلث زاويته قائمه ويكون الوتر هو الضلع المقابل لهذه الزاوية.
– مساحة متوازي الاضلاع بدلالة مساحة المثلث = ضعف مساحة المثلث ، مع معرفة أن مساحة المثلث تساوي نصف طول القاعدة مضروباً في الإرتفاع.
حالات خاصة لمتوازي الاضلاع :
يُعتبر كلاً من المربع والمستطيل والمعين حالات خاصة من متوازي الاضلاع ، فقد أصبح لهم خصائص مختلفة قليلاً ميّزتهم عنه وهي :
– المربع : جميع أضلاعه متساوية في الطول ، وكل زواياه قوائم وله أقطار متعامدة.
– المستطيل : كل زواياه قوائم ، و كل أقطاره متساوية في الطول.
– المعيّن : كل أضلاعه متساوية ، وقطراه متعامدين.
تمارين :
تمرين (1):
متوازي اضلاع مساحته 36cm2 وارتفاعه 4cm فما هو طول القاعدة؟
الحل :
مساحة متوازي الاضلاع = طول القاعدة × الارتفاع
طول قاعدة متوازي الأضلاع = مساحته ÷ طول الارتفاع
طول القاعدة = 36÷4 =9 cm
تمرين (2) :
في الشكل الذي بالأسفل ، ABCD متوازي أضلاع فيه : AF=9cm ، CB=8cm ، AN=6cm
احسب طول DC
الحل :
مساحة متوازي الاضلاع = طول القاعدة × الارتفاع
المساحة = CB× AF = 9× 8
إذاً المساحة = 72 cm2
ومن قانون المساحة = طول القاعدة × الارتفاع
المساحة = DC × AN
72= DC× 6
DC = 72÷ 6= 12 cm
تمرين (3) :
متوازي أضلاع طول قاعدته 6 cm وارتفاعه 4cm، فما مساحته واذا كان طول ضلعه المجاور 5 cm فما طول ارتفاعه الأكبر
الحل :
مساحة متوازي الاضلاع = القاعدة × الأرتفاع
المساحة = 6×4= 24 cm2
ارتفاعه الأكبر = المساحة ÷ القاعدة الصغرى
الارتفاع = 24 ÷ 5 = 4.8 cm
